Критерий устойчивости найквиста
Предназначен для анализа устойчивости замкнутых систем.
Для случая, если разомкнутая цепь устойчива, условия устойчивости замкнутой САУ сводится к требованию, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой цепи не охватывала точку (- 1, j0).
Если АФЧХ разомкнутой цепи Wрц(
Но это возможно в том случае, если
то есть годограф Михайлова замкнутой САУ проходит через начало координат.
Таким образом, если АФЧХ разомкнутой цепи проходит через точку (- 1, j0), то замкнутая САУ будет находится на границе устойчивости.
На рис.3.10 приведены две АФЧХ. Кривая 1 соответствует устойчивой САУ, кривая 2 - нахождению САУ на границе устойчивости.
Если, например, уменьшить коэффициент передачи в неустойчивой САУ, то ее АФЧХ будет сжиматься к началу координат, в результате чего система станет, наконец, устойчивой. Аналогично этому происходит и обратное.
Для САУ, имеющих неустойчивую разомкнутую цепь, условия устойчивости рассматривать не будем.
Рис.3.10
В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости можно судить не только по АФЧХ, но и совместно по амплитудной и фазовой частотным характеристикам разомкнутой цепи. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения. Но если ЛАЧХ используется асимптотическая, то расчеты будут достаточно грубыми.
Неохват АФЧХ точки (- 1, j0) имеет место, если при частоте, на которой A(
Но значение А=1 соответствует G=20lgA=0.
Поэтому для устойчивости замкнутой САУ необходимо, чтобы ЛАЧХ разомкнутой цепи пересекла ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение -
На рис.3.11 приведены ЛАЧХ и ЛФЧХ, соответствующие устойчивости некоторой САУ.
Рис.3.11
Критерий Найквиста позволяет оценить устойчивость САУ, содержащих звенья с запаздыванием.
Пусть звено с запаздыванием с передаточной функцией
Результирующие передаточная и комплексная частотная функции разомкнутой цепи будут:
где
С учетом последнего
Видно, что звено с запаздыванием лишь вносит дополнительный сдвиг. При этом изменяется АФЧХ, т.е. меняются условия устойчивости (характеристика "закручивается" по часовой стрелке). При некотором
По АФЧХ системы без запаздывания можно определить критическое (предельное) значение запаздывания
Рис.3.12
Определяется точка, для которой
При введении запаздывания условие совпадения этой точки с точкой (- 1, j0) запишется
откуда
Физический смысл критерия Найквиста заключается в том, что при увеличении частоты входного воздействия сигнал, проходящий по цепи обратной связи, оказывается в противофазе с входным. А это равносильно замене отрицательной обратной связи на положительную. Если же при этой частоте разомкнутый контур обладает усилением (т.е. k>1), то замкнутая САУ становится неустойчивой (любое увеличение сигнала на выходе приводит к увеличению сигнала на входе по цепи обратной связи, что вызывает дальнейший рост выходного сигнала и т.д.).
Для аналитических расчетов с помощью критерия Найквиста условия нахождения системы на границе устойчивости можно записать в двух формах:
а) используя вещественную и мнимую частотные функции разомкнутой цепи
б) используя амплитудную и фазовую частотные характеристики разомкнутой цепи
Аналитические расчеты существенно упрощаются в частном случае, когда в числителе Wр.ц.(p) присутствует только коэффициент передачи k, как, например, в структуре на рис.3.3. При этом комплексную частотную функцию можно записать
где
Но
Тогда условия нахождения САУ на границе устойчивости (3.8) преобразуются к виду
Определим, воспользовавшись условием (3.10), значение kгр для структуры на рис.3.3.
Из второго уравнения выразим
Такой же результат был получен ранее по критериям Гурвица и Михайлова.
Пример 3.5.
Решить задачу примера 3.1 с использованием критерия Найквиста.
Рассчитаем kгр, воспользовавшись условием (3.8).
Ответ тот же, что и в примерах 3.1 и 3.2.
К содержанию
